关于一些我自己推导的数学公式

关于一些我自己推导的数学公式

投稿者：Entertainment_YH
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公式

令：

\vec{a} = (a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{n}), \vec{b} = (b_{1}, b_{2}, b_{3}, \dots, b_{n})

且

\begin{aligned} \vec{a}, \vec{b} \in V (n), V (n) 是向量集合， V (V i c t o r 向量), n (d i m e n s i o n 维度） \end{aligned}

则有如下公式：
向量的模:

∣ \vec{a} ∣= \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} a_{i}^{2}} = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} +_{3}^{2} + \dots + a_{n}^{2}}

向量数量积:

\vec{a} \cdot \vec{b} = \sum_{i = 1}^{n} a_{_{i}} b_{_{i}} = a_{_{1}} b_{_{1}} + a_{_{2}} b_{_{2}} + a_{_{3}} b_{_{3}} + \dots + a_{_{n}} b_{_{n}}

向量的夹角余弦值:

\cos < \vec{a}, \vec{b} >= \frac{\sum_{i = 1}^{n} a_{i} b_{i}}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} a_{i}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} b_{i}^{2}}} = \frac{a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3} + \dots + a_{n} b_{n}}{\sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2} + \dots + a_{n}^{2}} \sqrt{b_{1}^{2} + b_{2}^{2} + b_{3}^{2} + \dots + b_{n}^{2}}}

不等式:

\begin{aligned} ∣ \vec{a} \cdot \vec{b} ∣\leq∣ \vec{a} ∣∣ \vec{b} ∣ \\ \sum_{i = 1}^{n} a_{i} b_{i} \leq \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} a_{i}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} b_{i}^{2}} \\ a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3} + \dots + a_{n} b_{n} \leq \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2} + \dots + a_{n}^{2}} \sqrt{b_{1}^{2} + b_{2}^{2} + b_{3}^{2} + \dots + b_{n}^{2}} \end{aligned}

描述

这些公式为任何维度的向量定义了运算等式，如

\vec{a}, \vec{b} \in V (7), \vec{a} = (1, 9, 1, 9, 8, 1, 0), \vec{b} = (5, 2, 0, 1, 3, 1, 4) 时

求

\cos < \vec{a}, \vec{b} >

可直接代入公式

\cos < \vec{a}, \vec{b} >= \frac{\sum_{i = 1}^{n} a_{i} b_{i}}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} a_{i}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} b_{i}^{2}}} = \frac{a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3} + \dots + a_{n} b_{n}}{\sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2} + \dots + a_{n}^{2}} \sqrt{b_{1}^{2} + b_{2}^{2} + b_{3}^{2} + \dots + b_{n}^{2}}}

此时，n=7

\cos < \vec{a}, \vec{b} >= \frac{\sum_{i = 1}^{7} a_{i} b_{i}}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{7} a_{i}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{7} b_{i}^{2}}}

解得

\cos < \vec{a}, \vec{b} >\approx 0.503